• Читателям
  • Авторам
  • Партнерам
  • Студентам
  • Библиотекам
  • Рекламодателям
  • Контакты
  • Язык: English version
1356

Обратные задачи естествознания и компьютерное моделирование

С точки зрения соотношения причина-следствие, все задачи математического моделирования условно делятся на два больших класса: прямые задачи и обратные. В первом случае при известных причинах требуется определить следствия, во втором случае, естественно, наоборот: найти причины, приведшие к тем или иным следствиям.

Первые публикации по обратным и некорректным задачам, появившиеся в середине XX века, были связаны с различными разделами естествознания: физикой, геофизикой, астрономией и др. С появлением же мощных ЭВМ область приложений обратных и некорректных задач охватила практически все научные направления, где используются математические методы, включая медицинскую и промышленную томографию, дефектоскопию и т. п. В высшем образовании эта теория является одним из наиболее эффективных средств изложения естественно-научных дисциплин

С точки зрения соотношения причина-следствие, все задачи математического моделирования условно делятся на два больших класса: прямые задачи и обратные. В первом случае при известных причинах требуется определить следствия, во втором случае, естественно, наоборот: найти причины, приведшие

к тем или иным следствиям. Первые публикации по обратным и некорректным задачам, появившиеся в середине XX века, были связаны с различными разделами естествознания: физикой (квантовой теорией рассеяния, электродинамикой, акустикой), геофизикой (электроразведкой, сейсмикой, магниторазведкой), астрономией и др. С появлением же мощных ЭВМ область приложений обратных и некорректных задач охватила практически все научные дисциплины, где используются математические методы, включая медицинскую и промышленную томографию, дефектоскопию и т. п.

Прежде чем говорить об обратных задачах, необходимо определить, что такое прямые задачи. В прямых задачах математической физики исследователи стремятся найти (в явной форме или приближенно) функции, описывающие различные физические явления (например, распространение звука, сейсмических колебаний, электромагнитных волн и т. п.). Эти функции являются решениями уравнений математической физики, для которых необходимо задать коэффициенты уравнения, начальные и граничные условия.

Однако свойства среды на практике довольно часто сами являются неизвестными. А это означает, что нужно формулировать и решать обратные задачи, где требуется определить либо коэффициенты уравнений, либо неизвестные начальные или граничные условия, либо местоположение, границы и другие свойства области, в которой идет исследуемый процесс.

Примеры обратных задач в математике. Красным цветом показано решение обратной задачи, синим – дополнительная информация о решении прямой задачи

Ясно, что для решения обратной задачи необходимо иметь дополнительную информацию (например, значения решения внутри области или на ее границе, спектральные либо кинематические характеристики процесса и т. п.). Эти задачи в большинстве случаев некорректны, т. е. в них нарушено хотя бы одно из трех свойств корректности –...

comments powered by HyperComments
#
kabanikhin@sscc.ru; ksi52@mail.ru
д.ф.-м.н.
член-корреспондент РАН, профессор
ВРИО директора ИВМиМГ СО РАН, зав. лабораторией математических задач геофизики ИВМиМГ СО РАН, зав. кафедрой математических методов геофизики ММФ НГУ

Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН

Новосибирский государственный университет